Minggu, 02 Maret 2014

Pola bilangan segitiga pascal

Pola Bilangan dalam Diagonal Segitiga Pascal

Banyak sekali fakta-fakta menarik dalam segitiga Pascal. Setiap baris pada segitiga Pascal memuat bilangan-bilangan yang merupakan koefisien dari bentuk dari ekspansi pangkat bilangan cacah dari binomial, salah satunya. Akan tetapi, pada pembahasan ini akan dikhususkan untuk menemukan pola bilangan dalam setiap diagonal segitiga Pascal tersebut. Perhatikan gambar berikut.
Segitiga Pascal
Untuk menemukan pola tersebut kita akan membutuhkan pola bilangan dalam setiap baris segitiga Pascal. Semua bilangan dalam setiap baris tersebut merupakan koefisien dari ekspansi pangkat dari binomial. Sebagai contoh,
Binomial Pangkat 4
Koefisien dari ekspansi pangkat 4 binomial tersebut adalah 1, 4, 6, 4, dan 1 yang merupakan bilangan-bilangan pada baris ke-4 pada segitiga Pascal. Menurut Teorema Binomial,
Teorema Binomial
Sehingga secara umum barisan bilangan pada baris i = k dalam segitiga Pascal dapat dituliskan,
Un
Sebagai contoh, bilangan ke-2 dan ke-3 dari baris ke-5 segitiga Pascal adalah,
U2 U3
Berdasarkan pola di atas, kita dapat menurunkan rumus untuk menentukan bilangan ai,j, yaitu bilangan yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j dalam segitiga Pascal.
aij
Misalnya, kita dapat menentukan bilangan yang berada pada baris ke-7 dan kolom ke-6 sebagai berikut.
a76
Dari rumus ai,j tersebut, kita dapat menuliskan barisan bilangan pada diagonal ke-d sebagai berikut.
Barisan Diagonal I
Atau dapat dituliskan sebagai,
Barisan Diagonal II
Sehingga, suku ke-n dari barisan bilangan pada diagonal ke-d adalah
Dn
Sebagai contoh, pada diagonal ke-3 segitiga Pascal merupakan bilangan-bilangan segitiga yang memiliki pola n(n + 1)/2. Barisan ini akan kita uji dengan menggunakan rumus yang baru saja kita temukan. Dengan d = 3
Barisan Segitiga

Tidak ada komentar:

Posting Komentar